融入四元数变换的《计算方法》课程教学实践

凌思涛，陈兴同，王海军，王瑞瑞，吴 钢  

(中国矿业大学 数学学院，江苏 徐州   221116)

    [摘  要]《计算方法》是高校理工科本科生的一门重要课程，它以介绍各类数值计算问题的算法基本原理和提供数值方法为主要内容，帮助学生提高解决实际问题的能力。在《计算方法》课程教学过程中，通过融入四元数的基本知识和变换技巧，形成延拓式的教学模式，可以激发学生对本课程的学习兴趣从而提高他们的学习积极性，对拓展学生的知识视野，培养学生的创新思维和深入思考问题的能力有积极意义。

[关键词]计算方法；延拓式教学；四元数

[基金项目]2019年度中国矿业大学教学研究项目一般项目(项目编号：2019YB32)

 

[作者简介]凌思涛(1980-)，男，汉族，山东临沂人，副教授，计算数学专业博士，主要研究方向：数值代数。

[中图分类号]G642    [文献标识码]A   

 

一、引 言

《计算方法》是高校理工科本科生的一门重要课程，该课程又称《数值计算方法》或《数值分析》，它以介绍各类数值计算问题的算法基本原理和提供数值方法为主要内容，能为理工科学生传授科学研究和工程技术中数值计算的基本知识，帮助学生提高解决实际问题的能力，它更注重理论教学和实践教学的有机融合，与计算机软件相结合实施教学过程是本课程的一个特色。

随着科学技术现代化进程的加速，科学计算在自然科学各领域中的地位变得非常重要，例如航空航天，大气运动，桥梁铁路工程，火车轮船制造，地质勘探，地震预报，风险投资等领域都需要用到科学计算进行数据处理。除了理论研究和科学实验以外，科学计算已经成为当前科学研究的三大方法之一^[1]。《计算方法》是培养大学生将来能够进行科学计算的入门级课程，随着人们认知水平的提高和各领域学科的交叉互融，特别是大数据时代的到来，迫切需要人们提高科学计算的能力。然而，《计算方法》课程原有的教学内容已不能完全满足学科发展的需要，传统的教学模式和教学方法也不能够充分调动学生的学习积极性。在切实掌握经典方法和理论的前提下，需要丰富《计算方法》的教学内容，改进教学方法，增加学生对《计算方法》课程的认同感，激发他们的学习兴趣。

国家强调高校要注重培养具有创新意识、创新思维、创新能力和创新人格的创新型人才。自教育部颁布“面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”以来，教育工作者们从课堂教学和实验教学等不同方面积极探索和实践关于《计算方法》课程教学研究与改革。近几年，人们更加注重将《计算方法》的实验教学与现实生活中遇到的实际问题进行结合，在教学过程中将最新的数学建模问题融入课堂教学^[2]。在教学内容的改进方面，文献[3]提出了将理论力学和材料力学中的实际问题作为引例融入到《计算方法》的课堂教学，提高学生的分析问题和解决问题的能力。文献[4]对整个课程进行统筹思考，提出了模块化教学的理念。文献[5]挖掘了PageRank算法的思想和《计算方法》课程中一些算法思想的共性，提出了将PageRank思想渗透到《计算方法》课程的课堂教学中和稀疏矩阵的实验教学中，从而加深学生对幂法的理解和对稀疏矩阵稠密矩阵的认识。随着网络技术的发展，新的教学手段不断涌现，基于网络化教学的教学方法和教学手段的改革措施也应运而生^[6]。还有很多其他改革举措这里不再逐一列举。

本文主要从教学内容方面探讨《计算方法》课程课堂教学的改革措施，结合作者多年来在四元数相关问题研究中的体会，倡导教学过程中要将教学工作和科学研究相结合，以科研促教学的理念。以经典Jacobi方法求解实对称矩阵特征值的教学内容为例，介绍四元数变换在《计算方法》课程教学中的应用，总结形成了《计算方法》课程教学中延拓式教学模式的教学实践。

 

二、四元数基本性质的引入

早在1843年，爱尔兰数学家Hamilton为了描述多维空间中的物理现象时发明了四元数，它是最简单的超复数。四元数是复数的推广形式，一个四元数可以表示为

                      (1)

显然，由一个实部和三个虚部构成。四元数的全体记为 四元数的乘法法则如表1所示，这意味着四元数不满足乘法交换律。

 

表 1 四元数乘法法则

	1	i	j
1	1

 

通过与复数的对比教学就可以引入四元数的概念，并且从概念上很容易能看出来它和复数的区别与联系。通过知识的拓展学生可以很快接受一个新的概念，又会激发学生的好奇心：既然四元数不满足乘法交换律，看起来又比复数复杂，四元数到底有什么可用之处，在实际应用中又要如何使用它解决问题呢？在后续的讲解中就可以继续引入四元数的基本性质，满足学生的好奇心。

若把分解为直和的形式

通过四元数张量积的表示可以定义16维代数和实4阶矩阵空间之间的一个双射^[7]

                         (2)

满足

这就建立了四元数张量积和实矩阵空间的一种同构关系，可以实现某些特殊矩阵和四元数张量积之间的相互转化。例如，关于实对称矩阵的四元数张量表示有下面的等价结论^[7]：

(i) 是对称的；

(ii) 

(iii) 存在纯虚四元数和实数，使得

                    (3)

其中

特别地，一个实矩阵是对角矩阵当且仅当它可以表示为

                 (4)

由于四元数具有优美的结构，四元数发展至今已经在量子力学，航空器的姿态控制，彩色图像处理，三维测量技术等领域有着广泛的应用。这些应用中主要利用了四元数具有能够方便地进行正交变换的优点。

 

三、基于Jacobi方法的延拓式教学

一个n阶实对称矩阵A总可以被一个正交矩阵Q通过相似变换约化为对角矩阵，并且对角矩阵的对角元就是A的特征值。Jacobi方法求解实对称矩阵特征值正是基于这个线性代数基础理论提出的。正交矩阵Q 的形成过程是通过一系列的正交旋转变换使矩阵A的非对角元逐步收敛到零。这是从矩阵变换的角度来介绍Jacobi方法求解实对称矩阵的特征值问题，以此问题为基础，可以引导学生从四元数张量的角度实现算法，这是关于本部分知识的拓展环节，以期学生对Jacobi方法有更深入的理解。

具体而言，在讲解完经典的Jacobi方法求解实对称矩阵特征值之后，学生掌握了通过正交变换可以将实对称矩阵逐步地约化为对角矩阵，从而求得实对称矩阵特征值的主要思想。利用四元数张量表示和实矩阵之间的同构关系，可以启发学生将经典的Jacobi方法转化到四元数变换框架下来实现。首先要给学生理清一个主要的思路，然后让学生查阅文献资料并分组讨论完成布置的任务。这样既可以开拓学生的思维，又可以训练学生对所学方法深入思考问题的能力。

3.1 思路提示

由(2)式知，用正交矩阵R对一个4阶实矩阵实施正交相似变换等价于寻找两个单位模长的四元数满足，进而在四元数张量空间施行四元数变换

               (5)

基于此观察并借助(3)式，首先将一个4阶实对称矩阵表示为

               (6)

显然，仍然是实对称矩阵。于是，寻找正交相似变换对角化可以对进行。由(5)式知，

             (7)

结合(4)式，经过正交相似变换对角化的问题就转化为寻找两个单位模长的四元数将(7)式右端旋转变换为(4)式的形式。

3.2 提出问题

事实上，将(7)式右端旋转变换为(4)式这个过程并不一定能够做到，尽管i, j, k相互正交，通常情况下p, q, r不是正交的。这说明直接对(6)式变换不可取，也就是需要一个关于的不同的四元数张量表示

                (8)

使得四元数三元组和都是相互正交的。这时，可以进一步向学生提出问题，让学生分组讨论并引导学生思考如何寻找这样的相互正交的两个四元数三元组，进而给出两个延拓知识点：四元数张量积表示和矩阵空间之间的同构关系式(2)和矩阵奇异值分解。

    首先将(6)式利用同构关系表示成矩阵形式

                        (9)

再把(9)式写成奇异值分解的表达式

                   (10)

此式可以等价地表示成四元数张量积

                (11)

是矩阵(9)的奇异值，和是相应的左右奇异向量，也就是要找的两个相互正交的四元数三元组。针对(11)式的四元数旋转变换，类似于(7)式中的选取可以分步进行。首先分别选取将(11)式中第一项变换为根据正交性，后两项的将落在jk张成的平面内并且相互正交。下一步就可以在此平面内通过分别选取将旋转为最后一项自然会与平行。这就是平面旋转变换的四元数张量积表示法，关于此方法更详细的阐述可参阅文献[7]。

通过这一部分延拓式教学过程，自然地将基于平面旋转变换的Jacobi方法这一课堂知识点延拓到基于四元数张量积的平面旋转变换，并进一步给学生介绍了矩阵的奇异值分解这一重要理论知识，同时加深了学生对四元数张量积和实矩阵空间同构关系的理解。

3.3 问题延拓

考虑将阶实对称矩阵划分成包含块的分块矩阵后，如何利用四元数变换和经典Jacobi方法的思想求的特征值。这给学生提出了一个更具有深度思考性的问题，也给学生留有足够的思考空间，对本文所介绍的延拓知识点感兴趣的学生可以进一步地思考这个问题。

 

 

四、结 语

首先根据要讲的课堂基本内容选好内容提升的素材或科研前沿知识，在教学过程中采用延拓式的教学模式，既可以加深学生对书本内容的理解，又可以潜移默化地挖掘学生的科研潜力，在日常课程教学中帮助学生为挑战各级大学生创新训练计划项目做好准备，像是一场寓科研于教学的实战模拟。当然，这种教学模式是紧紧围绕一个知识点系统延展的，学生在课后需要进行较多的学习活动。因此，要有一定的课时保障和学生的课外投入才能实施。本文旨在抛砖引玉，相信在科研过程中思考教学，对于改进教学方法，提高教学质量，培养适应社会发展需求的创新型人才有相得益彰的作用。

 

 

 

[参考文献]

[1]石钟慈，第三种科学方法——计算机时代的科学计算[M]，北京：清华大学出版社，2000, 1-3.

[2]马衍波，瞿丹，基于翻转课堂及建模思想的数值计算方法教学探讨[J]，电脑知识与技术，2018, 14: 171-172.

[3] 彭凡，融入基础力学内容的“计算方法”课程延拓性教学实践[J]，科教文汇，2020, 494: 62-63.

[4] 郑继明，刘勇，数值分析课程教学改革的研究与实践[J]，《科学咨询》(科技管理)，2019, 42: 125-126.

[5] 郑华，孙宇锋，PageRank思想在若干数学课程教学中的渗透[J]，教育教学论坛，2020, 30: 294-295.

[6] 李金权，基于微课视频的《数值计算方法》上机课翻转课堂教学设计——以Lagrange插值多项式上机实现为例[J]，教育现代化，2017, 4: 162-164.

[7] N. Mackey, Hamilton and Jacobi meet again: quaternions and the eigenvalue problem[J], SIAM Matrix Anal. Appl., 1995, 16: 421-435.

Teaching Practice of the《Calculation Methods》Course Incorporating Quaternion Transformations

LING Si-tao, CHEN Xing-tong, WANG Hai-jun, WANG Rui-rui, WU Gang

(School of Mathematics, China University of Mining and Technology, Xuzhou Jiangsu, 221116)

Abstract: In the teaching process of《Calculation Methods》course, by incorporating basic knowledge about quaternion and its transformation strategy, we promote extending teaching method, which can arouse students' interest of studying this course, and then make them study hard. Moreover, it can help students extend the knowledge vision, and it has positive meaning for training students' innovative thinking as well as deep thinking.

Keywords: calculation methods; extending teaching; quaternion