高等数学思维在气体动力学教学中的探讨

        向  鑫^1*，吴逸飞¹，徐义华¹  

（1. 南昌航空大学飞行器工程学院，江西南昌  330063）

[摘  要]：高等数学是理工科院校最重要的基础学科，其包含的数学方法、数学思维对学生后续专业课程学习至关重要。然而，高数知识相对于中学数学跨度较大，学生难以全面掌握；而后续专业课程中，所用的数学方法又超出了高数课程的范畴。针对这一问题，本文以航空专业核心课程《气体动力学基础》教学为例，分析了气体动力学课程所包含的数学（思维）特点，讨论了高数与专业课程之间的联系，探讨了数学思维在衔接两门课程中的重要作用，提出了一些有效的教学应用策略。

[关键词]：高等数学；数学思维；建模思维；航空专业课

[基金项目]：2021年，南昌航空大学，教改课题项目“高等数学思维在气体动力学教学中实践研究”（JY21055）。

[作者简介]：向鑫(1989-)，男，苗族，湖南省怀化市，博士，南昌航空大学飞行器工程学院，飞行器动力工程系，讲师（通讯作者），研究方向为叶轮机械气体设计；吴逸飞(1980-),女，汉族，江西省玉山县，博士，南昌航空大学飞行器工程学院，飞行器动力工程系，副教授，研究方向为多尺度流热耦合LES方法研究；徐义华(1971-),男，汉族，江西抚州市，博士，南昌航空大学飞行器工程学院，飞行器动力工程系，教授，研究方向为火箭发动机烧蚀与热结构。

[中图分类号]G642.0   [文献标识码]A  

一、引言

高等数学具有很强的抽象思维特征，可以锻炼学生思维逻辑能力^[1]；同时高数又是很多专业的基础课程，工程应用背景非常强^[2]。随着中国高等教育重要理论的发展，高等数学已不仅是理工类专业的理论基础课程之一，而且其已经被列入部分文科专业的教学计划内^[3]。然而与学生熟悉的中等数学相比，高等数学课程跨度大、思维抽象、符号体系复杂。相关专业教师发现，越来越多学生有基础不牢固、概念理解不深刻、学习困难等问题，这也导致学生对数学思维的理解不足，远达不到后续专业课程的运用要求^[4]。学生也普遍反应高数学习难度大，学习没兴趣。

数学在众多的社会生产和生活领域都有不同程度的应用，是推动社会发展进步的重要知识基础^[5]。数学思维是用数学思考问题和解决问题的思维活动形式。高等数学课程所具有的抽象性、逻辑性以及宽泛性，使其在培养学生抽象逻辑思维能力、创新能力、创造精神等方面有着重要作用。

《气体动力学基础》是飞行器动力工程专业学生的专业核心课程，是专业课程与基础课程之间承上启下的纽带，也是后续多门专业课的前置基础课。该课程的教学效果将直接影响后续理论教学和实践教学。气体动力学基础理论性很强，理论推导繁琐，对学生的数学思维有很高的要求。在教学实践中，学生经常有理解不了数学表述，看不懂符号，听不懂推导等情况。

从学生专业课程的学习情况来看，高等数学与专业基础课程之间的纽带关联有所不足。很多专业学者对高等数学课程的教学方法、体系安排等都进行了改革和探究^[6-8]。然而不同专业涉及的数理方程不尽相同，工程问题的抽象思维方法也不相同。为提高学生课程学习效果，使学生理解数学思维的应用，为后续专业课程打下思维基础，本文对高数思维在该课程教学中的应用进行了探讨，分析课程数学理论需求与高等数学教学之间的短缺，从专业学习角度提出新的课程教学改进策略。

二、气体动力学数学思维特点

气体动力学基础是飞行器动力工程专业的学生大二学习的重要专业核心课程，也是从事航空航天飞行器动力设计、分析和应用等不可缺少的理论基础。在培养学生创造性思维、综合设计能力、动力工程实践能力以及解决实际问题能力等方面占有重要地位。课程主要研究对象为无形的流体（空气），抽象模型理解困难，数学思维要求高，方程复杂。以课程最为基本的知识点为例，分析该课程数学思维特点。

流体微团运动分析是课程最重要的理论之一，其理论基础来源于抽象思想。在运动的流体中取一流体微元体（见图1），设其中心点M在某一时刻速度为V，流体微元邻近一点M1的速度可以用M点的速度用泰勒级数展开来求解。然而，流场中质点的速度是矢量，在进行泰勒展开时将产生其他方向的偏导函数使得方程形式十分复杂；另外为了便于计算，还须对方程进行凑项处理（也是偏导函数），造成方程形式更为复杂。变形后的偏微分方程各项再进行分类合并，才能分别给出物理解释。这里包含了由抽象物理概念转换为复杂数学形式，再又返回物理意义的过程，对数学思维有着极高的要求。

图1 流体微团运动分析

上述内容对于刚学完高等数学学生来说理解它是十分吃力的。与学生交流发现，仅这一段内容，学生在数学知识层面就存在以下问题：

1.偏微分概念不清晰。泰勒展开、略去二阶小量等，高数学习过，但是展后的表达不认识。偏微分不认识，不理解各方向速度其他坐标求偏导数物理意义。

2.方程组的矢量形式没见过。

3.运算符号不理解。叉乘运算没见过，叉乘意义不清晰。

4.运算目的不理解。如方程凑项为什么这么凑，方程明明更为复杂了。

5.学生有畏惧情绪。不理解、不懂的太多，高数已经十分难了，面对如此公式推导，学生更加畏惧。

分析学生对课程的理解和反馈，结合授课理论知识，可以总结专业课程中高等数学运用存在以下特点：

（1）数学思维要求高

相比于高数，在专业课程中，数学应用更侧重于数学思维。高等数学是对自然问题的更高级认知的工具。通过对物理问题抽象，采用微分/积分方程描述，并运用数学技巧将其变为另一种更容易理解的形式。而学生在学习高等数学时，通常倾向于学会运算符号、学会预算方程（式），并得到某个最终的结果，侧重于运算及技巧。

（2）数学知识范畴广

专业课程中的理论推导严谨，数学语言和思想范畴广。仅以上例来说，所用数学知识虽然都属于高等数学范畴，但要完全理解其中推导的方法、目的，还须有如矩阵论、数理方程、高等工程应用数学等课程的部分内容作为辅助。其运算方法、数学思想都不是一门高等数学课程就可涵盖的。

（3）运算符号体系复杂

思维模型的数学藐视是复杂微分方程组，各种变量相互关系令人眼花缭乱。方程每一项看似相同，细看又不同，代表着不同的物理含义。从数学表达上就让学生有畏惧感，仔细辨认仍难以厘清之后，还会有挫败感。

（4）方程求解困难

专业课程中推导得到的数理方程形式复杂，内涵深刻，难以求解。学生从中学时代到大一数学基础课程，面对的问题通常都是有结果明确、方程清晰、可计算的。在面对复杂专业问题时，学生先入为主的陷入“求解、计算”的思路，而不是去理解内涵；当发现方程根本无从下手，没法计算时，将产生厌恶情绪，更不利于课程教授。

三、气体动力学与高数衔接短缺

由上面总结，对比当前学生在高数中的学习收获，可以看到，两门课程在数学方面的衔接是有短缺的，主要表现在

3.1 对问题抽象描述的短缺

对自然界问题运用方程描述是人们认识自然的重要方法，然而如何将一个问题抽象为数学问题的思想过程至关重要。但实际上绝大多数问题的微积分方程都是不能直接求解的，依靠多种假设和边界条件，才有可能化简为能够求解的代数方程；而更多情况只能通过计算机求解。如气体动力学中的NS（Navier-Stokes）方程仅在特殊边界条件下才有解析解，绝大多数情况只能依靠计算机求解。所以，在专业课程中更重要的是对问题的抽象描述，之后通过对问题的认知，寻找求解方法。

但学生在学习高等数学这门课程时对这一点的认知有欠缺。一方面，尽管高等数学所学习的多种微积分方程都来源于自然问题（工程实际），然而解释问题的来龙去脉属于数理方程的范围；另一方面，自然界问题的方程描述，能够求解的实际上少之又少，但学生习题、考试试题的都是能够求解的，是能够通过运算变为简单形式的。在获得运算的结果之后，学生并不理解它所代表的物理含义，也找不到具体事例与之对应，更不清楚这一通运算的目的。简而言之，学生把专业课上的方程只看做方程，而不能理解为一种抽象的描述。

3.2 “特殊”到“普适”思维的短缺

人类认知世界都是由“特殊”到“普适”的，如牛顿从“苹果落地”这一“特殊”现象，经过思考和研究，提出了“普适”的万有引力定律。而学生在学习高数时，面对的都是具体的“特殊”问题，对“特殊”问题进行认知、运算、求解，是“特殊方程”到“特殊结果”的运算过程。学习时以掌握具体算例进和数学技巧，解决习题（试题）问题为目标，忽略了数学的普适性。此外，数学的发展并不是针对具体物理问题（专业问题），而是当物理问题求解遇到困难时，从数学中寻找解决工具。这意味着高数课本身就是为学生提供丰富数学思想和数学工具的，学生在后续的专业课程学习中遇到问题时，应回头思考和寻找正确的数学工具。一个具体物理问题的解决需经过“普适物理问题”——“普适数学表达”——“特殊数学方程”——“特定数学技巧”这一过程（学生学习数学时更多只关注了后面两步）。

另一方面，专业课程知识都是从具体的“普适”问题出发，经过抽象的模化思考，将问题转变为便于理解的方程，是“普适”物理模型到“普适”数学方程的过程。这一过程数学思想很重要，而学生熟悉的解题技巧并不重要，这就是学生思维的短缺。专业问题只有在具体问题中，约定好边界条件之后（如书本上例题给出各种已知条件之后），方程的“普适”形式才变为“特殊”形式，才能够进行后续的求解。学生虽然掌握了高等数学的运算，但是思维上没有这样的转变，局限了自己的思想，导致讲授理论时听不懂、理解不了；以至于部分学生在遇到具体问题时不会理论思考，只会生搬硬套公式，学习效果不佳。

3.3 数学语言符号的短缺

全面的理解专业课程中涉及的数学语言和符号体系需要更多高深的数学课程来弥补，如偏微分方程、复变函数、数理方程等等。对于气体动力学基础这门课程，作为专业的核心基础课，必须在学生跨入专业课学习前学完；而上述更高级的数学课程多在本科高年级、甚至研究生阶段才会涉及。这确实导致学生在学习该课程时出现数学语言符号不认识的情况。而这种数学语言的陌生感会影响学生学习状态，产生一种恐惧感。个别学生甚至有改一个符号、变换一个字母就不会解答，不知该如何分析的情况。

事实上，陌生的数学符号并不应影响学生对问题的理解。符号只是表明了一种运算法则。可以说，对于一门专业课理论分析来说，符号代表的运算意义是小于其背后物理含义的（尽管数学语言符号体系对于一个学科十分重要）。但是学生的数学思维中并没有很好的理解这一点，往往把符号看得比物理意义还重要，把方程的“运算”看得比对问题的剖析更重要。极端情况甚至会有学生认为会进行运算了，能把例题问题算出结果了，就表明自己对某一问题理论理解透彻了。实则恰好本末倒置。

四、短板弥补方法探索

高数学习的也是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程。高数本身就具备高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性，有了高度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。因此高数是与应用科学结合最为紧密的课程，理应承担起锻炼学生数学思维、指导学生数学应用的作用。但是高等数学作为一门基础课程，面对诸多专业学生，很难奢求一门课程就解决学生专业课上遇到的各种数学问题。因此，在气体动力学基础课程的教学中，应该根据高数课程与专业课程中的短缺，改进教学内容。

图2 高数思维在气体动力学基础的应用

4.1 跨院系沟通，针对性教学

加强专业学院与数学教学学院的沟通，针对不同专业课程特点，建立教学联系。一直以来，高数因其高度抽象特点，学生学习时就比较困难，上课提不起兴趣。高等数学的教师上课时也苦于数学理论过多，实际案例太少，难以调动课堂气氛。实际上，很多专业课程中的理论推导，都依赖于高等数学知识体系。通过跨院系沟通，专业课教师挑选重要的、有意思的实际问题，总结其中重要的数学思想和主要高数课程方法，为高数教师提供实用案例。

如此，一方面，高数教师在讲解高数知识点时，遇到有相近的方程、推导，可以借用专业课的实际问题来辅助讲解；学生结合专业工程实例，更容易理解高数方法背后的思维。另一方面，当学生进入专业课程学习时，面对工程问题抽象出来的方程不再陌生，提前了解了这个方程的“来龙”。此时，教师再做适当引导，讲解方程推导的目的，补上方程的“去脉”，可以有效降低学生学习理论的难度。

4.2 强调思维过程，弱化方程形式

专业课程教学中不可避免会有大段的理论推导，而过于复杂的方程形式会干扰学生的理解。在讲授气体动力学基础课程时，应强调思维过程，注重对方程的理解，弱化方程形式。将数学作为一个剖析问题、探寻规律的工具，让学生不拘泥于数学表达，不受困于符号运算，教会学生看待问题要用“普适”的视角。让学士理解复杂方程是对问题的描述，越“普适”的问题，方程可能越复杂；越“特殊”的问题，方程才能越简单。

4.3 面向专业定制高数例题

许多工程问题，在一定的假设和边界条件下是可以不断化简为学生熟悉的高数问题的。然而现有的课程内容中，大多数例题都针对工程的实际应用，并没有面向高数学习过程去构思特定的例题、习题。在学生视角中，只有完全陌生的方程形式，找不到高数与工程问题的内在联系。如果在专业课程的讲解或者习题中，有意安排特殊问题，使得学生最后能够找到高数曾经做过、考过的熟悉的方程形式、运算技巧等，则对学生理解问题、解决问题有更大的帮助，也增强了学生课程学习的自信。

4.4 补充专业数学知识

学生数学知识并不完备，一定要在专业课上适当的进行补充。从学生的课程体系来说，学生不能等所有数学知识均完备后再来学习专业核心课；从气体动力学课程本身来说，其所需数学知识不仅来源于高等数学，甚至会有来源于数理方程、工程应用数学等更高级的数学课程。然而，专业课上对于问题的思考，数学思维的要求，绝大部分仍来源于高等数学。因此，对于具体的专业课，可针对课程本身将遇到的数学问题开设一次“专业数学”课程，减弱学生数学知识短缺带来的不适感和畏惧感（如本课程就在流体微团分析前专设一次数学知识课）。更进一步的，在专业培养方案上开设低年级的“专业数学课”，系统性的补充本专业所需数学思想和常用数学工具，以弥补数学思维短缺，完善专业培养体系。

4.5 网络助力数学获取

网络是一个获取知识（信息）的重要渠道，应充分的利用和挖掘。事实上，数学思维的学习和锻炼贯穿于整个高等教育，不仅仅是几门课程就能完善的。依托恰当的信息技术，在课程上教师向学生演示、宣传提供优质的在线资源（如小视频、微课等），拓展学生课后学习环境，打开网络学习窗口。学生利用这些网络窗口接触更多的生活中、工程上经典案例，让自身数学思维逐渐成长，面对复杂工程问题更为游刃有余。

五、总结

高等数学是飞行器动力工程专业的基础课程，对学生专业知识学习和数学思维锻炼有重要作用。本文结合专业课——气体动力学基础——的教学实际，分析了高等数学与专业课程之间的短缺，其核心是学生数学思维的训练不足，进而针对性的提出了气体动力学的教学改进思路。通过针对性教学沟通，强调数学思维，面向高数制定例题，补充数学知识等方法，充分利用网络资源等，去有效弥补上述短缺，降低专业课程中数学难度，提高教学效果。

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The Discussion of Higher Mathematical Thinking in Aerodynamics Teaching

Xiang Xin^1*, Wu Yifei¹, Xu Yihua¹

(1. School of aircraft engineering, Nanchang Hangkong University, Nanchang, Jiangxi 330063)

Abstract: Higher mathematics is the most important basic subject in science and engineering colleges. Its mathematical methods and mathematical thinking are very important for students' follow-up professional courses. However, compared with middle school mathematics, the knowledge of advanced mathematics has a large span, which is difficult for students to master comprehensively; in the follow-up professional courses, the mathematical methods used go beyond the category of higher mathematics. In view of this problem, taking the teaching of the core course "Fundamentals of aerodynamics" of aviation specialty as an example, this paper analyzes the characteristics of Mathematics (thinking) contained in aerodynamics course, discusses the relationship between advanced mathematics and professional courses, discusses the important role of mathematical thinking in connecting the two courses, and puts forward some effective teaching application strategies.

Keywords: higher mathematics; mathematical thinking; modeling thought; aviation specialty class