金诚杰 ， 王 昊， 陈 峻           

（东南大学 交通学院，江苏 南京 210096）

 

[摘  要]通过课堂实验进行博弈论教学，能够有效促进学生对知识的理解。但在以往的实践中，此类实验通常只进行一次，效果不够显著。因此尝试在连续几周的课堂上开展博弈论实验，并在每次实验之间讲解前一次实验结果，对学生进行集体训练。连续实验结果表明，第一次实验不可能达到纳什均衡点，但在三周实验之后，学生的集体选择会逐渐接近均衡点，并且如果继续重复下去，最终可以达到。这一过程有效地强化了学生对博弈论原理的认识。同时通过博弈论知识的学习，交通专业的学生也进一步加深了对交通分配中Wardrop第一和第二原理本质的理解。

[关键词]博弈论；课堂实验；纳什均衡；Wardrop原理;教育教学论坛

[基金项目]国家自然科学基金青年基金项目：基于大规模实验的高密度行人流运动机理和建模仿真（编号71801036）。

[作者简介]金诚杰（1985-），男（汉族），江苏南京人，博士，讲师，研究方向：交通流理论。 

 

1. 引言

 

博弈论是研究理性人互动的理论。1928年，冯-诺依曼证明了博弈论的基本原理，宣告了博弈论的诞生。1944年，他和摩根斯坦合著的《博弈论与经济行为》将二人博弈的情况推广到多人博弈结构，并且将博弈论系统应用于经济领域，奠定了这一学科的理论体系。在1 950年，纳什用不动点定理证明了均衡点的存在，为博弈论的一般化奠定了基础。到今天，博弈论已经成为社会科学的通用方法论，对于理解各种社会现象具有非常重要的价值[1]。

正因为此，我国高校中很多专业都开展了博弈论知识的教学。由于博弈论的数学模型非常复杂，公式和符号抽象，学生通常不易理解，因此近年来很多学者开始在传统课堂讲授的基础上，引入博弈论实验的手段[2-6]。这种互动的教学模式更加有趣，有利于学生理解博弈的基本思想，也有助于活跃课堂气氛和提高教学效率，是值得广泛推广的。

    但在以往的博弈论课堂实验中[2-6]，基本上都只进行了一次实验，内容过于简单。有些学者在期末考试中引入了实验内容[7]，它的效果也等同于单次实验。事实上在一学期的连续多周课程里，完全有条件开展连续多次的重复课堂实验，从而更深入地揭示博弈论原理，进一步强化学习效果。因此我们针对这一点展开了尝试，取得了较好的效果，具体过程将在下文详述。

 

2. 第1轮实验：初尝试

 

    我们设计的实验内容如下：

在0-100之间选取一个数字，当所有学生的数字收上来之后，计算所有数字的平均数。选取数字最接近大家平均数2/3的学生是赢家，可以得到10元钱奖励。如果有多个赢家，则每人都有10元钱奖励。你将如何选择这个数字？

实验说明：

(1) 共有42名实验参与者，均为东南大学交通学院一年级研究生，大部分学生专业为交通运输规划与管理，少数为道路、载运、ITS等专业，均无相关实验经验，也从未学习过博弈论知识。

(2) 实验时间为15分钟，在实验过程中不允许和别人交谈，也不允许上网查找资料，完全独立完成。

(3) 参与者在白纸上写上自己的姓名，学号，选择的数字和理由。

这一实验内容和文献[6][7]描述的实验基本一致，主要区别在于文献[7]在期末考试中进行，将实验内容设定为试题，而文献[6]中要求为“数字最接近大家平均数1/2的学生是赢家”。在这次实验过程中，学生非常投入，很多人在时间结束时仍然在反复思考和推算。实验结束后，学生们对这个实验表达出了强烈的兴趣，例如下课时有学生表示希望能当场统计，当场出结果。

课后我们将42名学生的结果进行统计分析，按照每10个数为1个区间的方式进行划分，结果如表1所示。由于没有学生填写80以上的数字，所以表格中的最大区间为(71,80]。在42个数字中，最小值为0，最大值为75，平均值为28.53，它的2/3为19.02。由于无人选择19，所以最终赢家为2名选择20的学生。

 

表1. 第1次实验结果的区间分布统计

 

    这一实验存在着纳什均衡点0或者1，具体的分析和推导过程可参见文献[6]，本文不再赘述。此处主要讨论实验中发现的一些现象：

(1) 67以上的选择肯定是非理性的，因为即便平均值为100，它的2/3也只有66.7。本次实验中仍然有一名学生填写了75，并且说理由是“我喜欢”，可以看到即便对于一年级的工科研究生而言，仍然有少数人不具备基本的理性思维能力。

(2) 有的学生虽然给出了理论上可能的数值，但理由很不充分，事实上他们并未进行合理的分析。例如一名学生填写了61，理由是“我觉得大部分人会往黄金分割点靠近”。还有学生填写了50或40，理由是“我猜的”。

(3) 一些学生努力地进行了推理演绎，并且接近了最终的答案。例如在42人中，有多达10名学生选择了22，其中有代表性的理由是：

“如果没有假设条件，平均分布的结果应该是50，则50*2/3=33。可能大家都会想到这一角度，所以答案平均值会接近于33，则2/3应该为33*2/3=22”。

(4) 也有学生在22的基础上进一步演绎，继续乘以2/3，并得到了14或者15的结果。但即便是考虑到了“无限循环”的情况，他们也并未选择更小的数字（本次实验中无人选择1-10的数字）。

(5) 总共有2名学生选择了0，他们分析出了纳什均衡点，意识到在“无限循环”后，确实结果会趋向于0。但在这次实验中，写0事实上是一种非理性行为，因为如果大多数人未考虑到这一步的话，平均值必然远大于0，写0的人根本不可能成为最后的赢家。

此处还可以将本文的实验结果与前人的实验结果进行对比。我们采集了文献[6]和[7]的统计数据，并呈现在图1中作比较。可以看到当选择的数字较大（N>30）时，3次实验的结果非常接近，尤其是N>50时几乎完全一样。在数字较小时，本文结果和文献[6]的结果仍然基本一致，但文献[7]呈现出不同的状态，明显有较多学生选择了0-10这一区间，即更为接近纳什均衡点。另外从平均数而言，本文实验的结果为19.0，也明显大于文献[7]中的平均数14.6。

通过分析学生背景，可以发现文献[7]中的实验参与者是选修课“逻辑与科学方法基础”的学生，并且这一实验是期末考试中的一道题。此门课程的教师曾经以讲座的形式给他们讲授过博弈论知识，所以他们经历过一定的训练，具备了更强的思维能力。而本文和文献[6]的实验参与者，在实验前并未系统学习过博弈论，相对而言思维能力不强，所以能考虑到纳什均衡点的学生明显较少。

3. 第2轮实验：训练的效果

 

如前文所述，第1轮实验过程事实上与文献[6][7]几乎一样，并无多少创新之处。为了进一步加强学生对博弈论的理解，教师决定接下来进行更多更深入的实验。

首先，在第2周的课堂上，教师对第1轮实验的结果进行了介绍，包括公布了选择不同区间的人数比例和最终平均值，并且向学生具体分析了实验原理，指出选择0是纳什均衡点，但事实上在第1次实验中选0不可能成为赢家等等。此时学生开始对博弈论有了基本的认识，初步具备了策略性思维的能力，并且学习兴趣得到了进一步加强。

然后，教师立即在课堂上开展了第2轮实验，并且实验内容、过程和第1轮完全一样。但因为参加实验的学生经过了一次训练和学习，效果必然会有所不同。这次实验的结果如图2所示，可以看到在了解了原理之后，大家的选择普遍更接近于0，平均值比第1次实验小了很多，并且有更多的学生（8名）直接选择了纳什均衡点。其中有2名学生在选择理由中直接指出，所有人选择0会导致系统最优，即“这样每个人都是赢家，每个人都可以获得10元钱奖励”。但与此同时，仍然有很多人考虑到“参与者不可能绝对理性，不可能大家都选0”，所以大多数学生（24名）选择了1-10之间的数字，并且有少数人（6名）选择了11-20之间的数字。这种对他人的普遍怀疑导致第2轮实验仍然没有出现系统最优的结果，平均值最终为7.76，2/3结果为5.17，最终赢家为2名选择5的学生。

 

   表2. 第2次实验结果的区间分布统计

区间	0	(0,10]	(10,20]	100
人数	8	24	6	1
比例	20.5%	61.5%	15.4%	2.6%

 

值得一提的是，这次实验中有一名学生选择了数字100，并且在理由中写到：“反正我拿到钱的概率很小（或者说没有概率），就来做个不理性的破坏者吧”。由于他在平时是一个做事认真细心、守规矩、学习成绩比较好的学生，做出这样的行为可以说是令人意外的。但其实在生活中，我们也经常能观察到类似于“损人不利己”的非理性行为；一个人在分析过形势之后，感觉自己完全没有胜算，于是选择和对手“同归于尽”，道理上也算是说得通。这一情形充分体现出博弈论的一些基本假设、例如假设“参与者是绝对理性的”往往与事实不符，这一点和前人研究结论[1,7]一致。可以说我们的实验结果也是复杂人性的一次鲜活的体现。

 

4. 第3轮实验：接近纳什均衡点

 

在第3周的课堂上，教师首先对第2周的实验结果进行了介绍，公布了选择不同区间的人数比例和最终平均值，并对大家的选择做了进一步分析。学生们对实验结果同样非常感兴趣，并且针对这轮实验中有人故意选择100的意外情况展开了热烈的讨论。

然后，教师在课堂上开展了第3轮实验，并且实验内容、过程和第1第2轮完全一样。此时学生们已经意识到，这个实验的最佳策略是所有人合作，全部选择0，这样所有人都是赢家，所有人都可以获得10块钱奖励。但同时，由于“前车之鉴”的存在，大家也会担心是否又有人搞破坏。在这两项因素的综合作用下，这次实验的结果比上一次更加接近于纳什均衡点，但并没有达到。具体结果如表3所示，这次的平均值为3.67，2/3结果为1.97，最终赢家为4名选择2的学生。

 

表3. 第3次实验结果的区间分布统计

区间	0	(0,10]	(10,20]
人数	10	28	2
比例	25.0%	70.0%	5.0%

 

在第3次实验中，虽然有几名学生在写理由时谈到可能会有人搞破坏，甚至有学生预测说“这轮一定有更多的人捣乱，我猜应该有5-6个人”，但最后并没有出现这种情形：这次的最大值只有16，并且选择(11,20]的人只有2名。事实上正如另一名学生所预测的那样，“本次会有更多的人写得更小，搞破坏的人在一次之后会觉得无聊，不会增加多少”。

总得来说，通过这次实验我们可以观察到，系统在逐渐向纳什均衡点靠近，但这个靠近速度是很慢的。例如选择0的学生数量只从8增加到了10，并且有4名上一轮选择0的学生基于对整体的判断，这次反而选择了略大一些的数字。另外，已经有很多学生逐渐意识到了多轮重复实验的意义所在，例如有学生在理由中分析到“想问的是，到底要经历多少次实验才会实现共赢呢”。

 

5. 未进行的下一轮实验： 最后的讨论

 

在第4周的课堂上，同样地，教师首先对第3周的实验结果进行了介绍，公布了选择不同区间的人数比例和最终平均值，并对大家的选择做了进一步分析。虽然学生仍然对实验本身有兴趣，但对于是否还要继续重复相同实验，已经有些争议。事实上在第3次实验的结果中，已经有不止一名学生写到“对实验失去兴趣”或者“无法分析”。

显然，当学生对实验内容失去兴趣时，这个实验就无法再促进教学了。因此这次课上，教师先请学生们针对“是否要继续做第4轮实验”举手表决，结果发现大约80%的学生都认为没必要再做，并且大家普遍相信，假如继续做下去最终必然会达到纳什均衡点，所有人都会写0。唯一的悬念是还需要几轮才能达到，但这一轮数似乎并不重要。到此时，博弈论实验可以说圆满结束了：通过连续4周的学习和讨论，学生亲身体验了决策过程，在与集体的互动中深刻领会了博弈论的含义与乐趣，实现了较好的教学效果。

 

6. 与交通工程知识的联系：以Wardrop原理为例

 

前文所述的几次博弈论实验，虽然非常有意义，但和交通工程领域并无直接联系。对于交通运输规划与管理的学生而言，还需要学以致用，能够将博弈论知识用于自己的专业领域。事实上很多交通问题都属于博弈论的范畴，只是由于交通参与者通常数量较多，往往难以使用博弈论直接求解。但使用博弈论的思维方式，仍然可以解释一些交通现象，加深学生的理解和认识。

此处我们以交通分配中的Wardrop原理为例，进行简单的诠释。Wardrop第一原理认为，网络上的交通分布结果，会使得所有使用的路线都比没有使用的路线费用小。Wardrop第二原理认为，车辆在网络上的分布，使得网络上所有车辆的总出行时间最小。如果交通分配模型满足Wardrop第一、第二原理，则该模型为平衡模型，并且满足第一原理的模型称为使用者优化平衡模型(User—Optimized Equilibrium)，满足第二原理的模型称为系统优化平衡模型(System—Optimized Equilibrium)。如果模型不满足这两条原理，而是采用了模拟方法，则被称为非平衡模型。

交通工程教科书上[8]会指出，非平衡模型在实际工程中得到了广泛应用，效果良好，但却没有具体说明为何平衡模型使用效果不佳，为何Wardrop原理经常失效，导致学生往往并不明白其中原因。但如果结合博弈论和纳什均衡，则可以给出解释：

Wardrop第一原理基于用户的理性假设，认为用户总是尽可能地最小化自己的通行时间，所有的用户都如此选择的结果形成了用户均衡。Wardrop第二原理假设用户是合作的，最终使得系统总的通行时间最少。然而从纳什均衡的结果来看，Wardrop第一和第二原理之间根本不存在关联性，并且很多时候恰好相反：当所有用户试图满足Wardrop第一原理时，经常导致Wardrop第二原理得不到满足，系统的总时间会变大。这在著名的“囚徒困境”中有充分的体现：每个囚徒都会选择坦白，从而导致所有人都坐牢更长时间。而在我们的课堂实验中，会有很多学生在认真思考后仍然选择较大的数字，从而提升整体平均值，延缓系统达到均衡点的速度。更特殊的是，在少数时候，用户甚至不满足Wardrop第一原理：例如在我们的课堂实验中有学生故意选择100，干扰大家的结果。另外即便有教师指导，在大家经过3轮的集体学习和训练之后，仍然只是接近、而未达到系统均衡点，换言之系统的收敛速度没有之前想象中快。由此可以看出，要想在现实中让交通分配结果同时满足第一和第二原理，根本是不可能的，这也就是非平衡模型更实用的原因。

    当我们在课堂教学中分析了这一点之后，学生普遍感觉到了学习博弈论对解决交通问题的帮助，同时也对交通分配方法和Wardrop原理有了更深刻的认识。

 

7. 结论

 

为了提升教学效果，克服单次实验的缺陷，本文通过开展连续多次的课堂实验进行博弈论教学。结果表明，第一次博弈论实验不可能达到纳什均衡点，但在三周实验之后，学生的集体选择会逐渐接近均衡点，并且如果继续重复下去，最终可以达到。通过这一系列的实验，学生充分地了解了博弈论的基本原理，亲身体会了决策过程，学习兴趣得到了充分的激发。另外通过博弈论知识的学习，交通专业的学生也加深了对交通分配中Wardrop第一和第二原理本质的理解。在今后的教学实践中，我们计划针对更多的学生开展类似的实验，比较各次实验结果之间的相同点和不同点，进一步促进学生对博弈论和相关知识的理解和掌握。

 

参考文献

[1] 刘晓丽. 博弈实验对博弈论的方法论意义[J]. 学术探索，2013，3：24-28.

[2] 李军军，黄茂兴. 课堂实验在理论经济学教学中的应用与创新[J]. 福建师范大学学报(自然科学版)，2011，27(3)：110-113.

[3] 李太龙. 博弈论公选课的教学内容与方法探析[J]. 教育探索，2012，1：42-44.

[4] 乔磊. 实验教学在经济学课堂教学中的应用[J]. 教育教学论坛，2012，7：218-219.

[5] 李攀艺，周伍阳. 经管类本科专业博弈论课程教学探悉[J]. 科教导刊-电子版（中旬），2014，7：59.

[6] 王新辉，黄莺，彭怡. 博弈论策略性思维的课堂教学实现[J]. 西南民族大学学报（自然科学版），2015，41(3)：345-34.

[7] 刘晓丽. 从博弈实验看博弈论作为社会科学方法论的局限性[J]. 东南大学学报（哲学社会科学版），2012，14(4)：20-22.

[8] 王炜，过秀成等. 交通工程学[M]. 东南大学出版社，2003.

 

The teaching of game theory by continuous classroom experiments

Cheng-Jie Jin, Hao Wang, Jun Chen

(School of Transportation, Southeast University, Jiangsu, Nanjing, 210096)

 

Abstract: With the help of classroom experiments, the students can understand more about the knowledge of game theory. But in the previous practice, usually this experiment was conducted only once, and the effect is not obvious. Therefore, we conduct the classroom experiments in several consecutive weeks. We show the results of last experiment to students before the next experiment, and try to train them. The results of continuous experiments show that the Nash equilibrium cannot be reached in the first run, but after three runs, the collective results are close to the equilibrium point. If we repeat the experiment, finally it could be reached. This process strengthens the understanding of students on the mechanism of game theory. By the learning of game theory, the students whose specialty is traffic engineering also can learn more about the essence of Wardrop's first and second principle for traffic assignment.

Keywords: game theory; classroom experiment; Nash equilibrium; Wardrop principle