数学物理方法中运用MATLAB的教学体会

    闫林丽，张学勇，郭玉献 

（安徽建筑大学数理学院，安徽合肥，230601）

[摘  要] 数学物理方法是本科生重要的基础必修课程，如何提高课堂效果，激发学生的学习兴趣是课程改革的重要目标。MATLAB计算软件具有强大的计算、绘图和仿真功能，将该软件引入数学物理方法课堂教学中，结合自身教学实践和经验，探索MATLAB在课堂教学中的适用性、优越性以及注意事项。实践发现，将MATLAB引入课堂教学中，能够提高教学效率和有助于学生能力的培养，同时也有助于教师教学水平的提高。应注意的是，MATLAB只是辅助教学手段，在课堂教学中，教师应分清主次，不能让MATLAB 喧宾独主。

[关键词]MATLAB；数学物理方法；教学

[基金项目]2020，安徽建筑大学，国家自然科学基金青年项目，X射线的星际吸收与散射，11903001; 2019，安徽建筑大学，安徽省高校省级自然科学研究项目-重点项目，更新银河系X 射线星际消光截面，KJ2019A0787; 2019，安徽建筑大学，安徽建筑大学校引进人才及博士启动基金项目-自然科学类，银河系X射线源能谱修正模型的构建，2019QDZ14。

[作者简介]闫林丽（1991—），女，汉，河南省鹤壁市，博士，安徽建筑大学数理学院，讲师，研究方向：数学物理方法的课堂改革研究

[中图分类号]O411  [文献标识码]A    

一、数学物理方法课程的重要性

数学物理方法是建立和研究描绘物理现象的数学模型时所采用的数学方法，是进行基础研究的重要工具，是培养学生逻辑思维能力和创造思维的重要课程。 “数学物理方法”课程是物理系和某些工程专业的本科生必需的重要基础必修课程。 这是基于“高等数学”课程的另一门重要的基础数学课程^[1]。虽然针对数学物理方法的参考教材有很多，章节排布有差异，但总体教学内容是一致的，通过该课程的学习，使学生掌握复变函数、数学物理方程和特殊函数的基本理论、建模方法和计算方法，培养学生用数学方法和物理规律解决各类物理实际问题的能力，为后续课程的学习打下良好的基础，例如为电动力学、量子力学等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。课程注重逻辑推理，具有一定的系统性和严谨性，但与其他数学课程不同，本课程内容具有很深广的物理背景，实用性很强。课程的重要任务是教学生如何通过合理的模型建立将各种物理问题转换为数学定解的问题，并掌握各种方法来解决这些问题，例如行波法（达朗贝尔公式），分离变量法(又称驻波解)，积分变换法（傅里叶变换和拉普拉斯变换），格林函数法。 “数学物理方法”课程是数学和物理的融合，在两者之间起到衔接的“桥梁”作用^[2]。“数学物理方法”一般是安排在第二学年教授，在本科生的基础课教学中占有核心的地位。我校经过课程优化，安排72课时教学时长，足可见该课程的重要性。通常，第一学年，学生们进行基础专业课的学习，例如力学、热学、电磁学等，对经典的物理过程和现象有了感性认识。在普通物理的基础上，第二学年学生将进入理论物理四大力学的系统学习，进一步把感性认识提高到理性认识。在这之前教授《数学物理方法》将有助于学生对四大力学中经典过程和方程的建立有清晰的理解，将提高学生求解物理方程和解决实际问题的能力。

 

图1 数学物理方法与各门课程的关系

数学物理方法这门课程的重要性具体表现为以下三点：

(1) 是普通物理与四大力学的桥梁；

普通物理学是在高中物理的基础上，介绍从物理实验现象到理论的形成过程和基本的物理概念，对数学的要求不高，学生掌握微积分、线性代数和概率论等基础数学即可；而四大力学侧重的是从理论出发，构建完整的理论体系，需要用数学的方法解决各类方程的定解问题。数学物理方法有效地衔接了普通物理与四大力学。

(2) 是学习专业课程的奠基石；

数学物理方法是物理学科的关键基础课，是进行基础研究的主要方法和工具。例如电磁学课程的内容是从静电场、静磁场出发，逐步过渡到电磁作用规律，最后麦克斯韦方程组被完整推导出来，而电动力学一开始就以麦克斯韦方程组为开端和切入点，研究电磁波的传播、辐射以及与带电粒子的作用过程，更偏向数学，要求学生能够求解不同条件、边界、坐标系下对应的方程的解。学生如果能学好数学物理方法这门课程，在随后的四大力学课程学习过程中将会如虎添翼，如鱼得水，是随后课程学习过程中的“催化剂”和“助燃剂”。

(3) 是培养学生逻辑思维能力和创造思维的重要课程。

数学物理方法以概念定理，数学符号，各类关系式、方程等形式，将事物的复杂过程展现出来，其表达手段和分析方法具有一定的特殊性。它帮助学生通过数学语言以特定的方式理解各类事物，运用数学理论和方法去研究和解决实际问题。这一系列过程都不可缺少清晰的逻辑推理和创造思维，由此学生分析问题和解决问题的能力也就自然地得到了训练和培养。数学物理方法课程也是公认的难教和难学的课程之一。统计我校历年的期末考试，该课程是期末考试通过率比较低的课程之一。因此如何将枯燥难学的课堂变得生动有趣，激发学生的学习兴趣，是广大数学物理方法任课教师的共同目标之一。本文将探讨一种新型的教学手段：将数学计算软件MATLAB应用到课堂教学中，MATLAB的强大功能之一是三维可视化，利用它的这一特点，可以将各类方程的数学解以图像和动画的形式呈现出来^[3]，这样可以加深学生对知识点的理解，激励学生认真钻研课程难点，亦将大大提升教学效率。

 

二、MATLAB课堂教学应用实例

传统的数学物理方法教学是枯燥、冗长、繁琐、抽象的，课堂学习和教学难度较大。单一的灌输式教学模式相对沉闷，很难唤起学生的学习热情和主动性，更不能激发学生的探索精神。这样导致学生被动听课，严重影响他们学习创造力的提升，也增加了课程教学难度。在绘图和计算这两方面，MATLAB软件具有强大的优势。该软件可以表达许多抽象概念和物理过程，增强学生对物理知识的基本概念，方法和应用等方面的理解，并使学生摆脱繁重的数学计算。使用MATLAB进行教学并将动态演示引入课堂教学中，可以使学生体验使用计算机解决物理问题，将抽象化为图像，激发学生学习兴趣和乐趣，这样学生可以更轻松地接受知识，教师更容易地传授 。

以下示例说明作者在课堂教学中使用MATLAB的情况。

（1）复数的运算

使用MATLAB可以快速实现复变函数的导数，极限，留数、级数等各类计算。 在掌握基本计算方法的前提下，学生可以利用MATLAB强大的计算功能以编程方式检查计算结果，以提高学习效率和作业的正确率。

【例1】计算的实部、虚部、辐角、模、共轭复数

分析：这是复变函数中最基础的计算题，首先需要将复数的分子分母同时乘以分母的共轭复数，再整理，可得到，接下来进行平方，再计算复数的实部、虚部等参数就比较容易了，使用MATLAB可以更快地得到计算结果。

解： 在MATLAB依次运行下列指令，

>> A=((3+i)/(1-i))^2

A=-3.0000 + 4.0000i

>> a1=real(A), a2=imag(A), a3=abs(A), a4=angle(A), a5=conj(A)

a1 =-3

a2 =4

a3 =5

a4 =2.2143

a5 =-3.0000 - 4.0000i

a1, a2, a3, a4, a5分别为复数A的实部、虚部、辐角主值、模和共轭复数。通过这个例子可以看出，简单的几个指令即可快速准确地计算出所需的结果，MATLAB软件不仅省时，还准确，为学生的学习提供便利。

 

(2) 解析函数积分的求解

【例2】计算复积分

 

分析：这一类积分有多种方法可以求解，例如参数法，令,环路积分可化为定积分，此种类型积分原函数的求解比较困难；或者可直接利用柯西积分公式，z=1和z=-2均在积分围线内，做辅助线，结合复连通区域的柯西积分公式求解；再者可以利用留数定理，被积函数有两个极点，分别是z=1为三级极点，z=-2为一级极点，计算两个极点处的留数，再乘2πi，即可得到积分值。无论利用哪种方法，都需要求导，计算过程是比较繁琐耗时的。以上这些方法的求解均可用MATLAB轻松实现。

解：

方法1（参数法）：

>> syms z t; z=3*exp(i*t);

>> I=int((z^2-4*z+1)/((z-1)^3*(z+2))*diff(z,t),t,0,2*pi) %int为计算积分的指令

I = 0

方法2（留数定理）：

>> syms z; f=(z^2-4*z+1)/((z-1)^3*(z+2)); %定义函数

>> resi1=limit(f*(z+2),z,-2)  %利用留数定义计算留数

resi1 = -13/27

>> resi2=limit(diff((f*(z-1)^3)/ factorial(2),2),z,1)

resi2 = 13/27

两个奇点处的留数和为0，显然被求函数的积分值也为0。两种方法均能正确求解出函数的积分值。虽然MATLAB的计算功能强大，学生使用MATLAB求解积分的前提是一定要掌握复变函数积分的各类求解方法，要能够将数学公式转换成程序语言。MATLAB可以用来检验理论计算结果的正确性，只是一种辅助手段，不是课堂教学的重点。课堂练习时，除了演示上述积分的求解过程外，再展示MATLAB求解该问题的过程，可以让学生体会到用计算软件解决问题的快捷和便利。

 (3) 傅里叶级数展开的图形化

傅里叶级数是分离变量法、傅里叶变换的基础，在物理学、统计学、密码学等领域具有广泛的应用，因此对傅里叶级数的理解非常重要。将周期信号展开成傅里叶级数，实质上就是用一系列三角函数的加权和不断逼近周期信号的过程。利用MATLAB强大的图像功能，以图片或者动画的形式展现傅里叶级数的展开过程，随着三角函数项数的增加，不断趋近目标函数，可以使学生更好地理解信号的叠加与分解过程。

 

图2 方波信号与各阶傅里叶级数图形

以方波为例，用MATLAB展现不同次谐波叠加信号趋近方波信号的过程，编写函数文件，以图像或者动画的方式展现n阶谐波信号叠加后的波形，如图2所示。图形化函数的傅里叶级数展开结果，并用不同颜色的曲线显示出来，可以吸引学生目光，加深对傅里叶级数概念的理解，提高课堂教学效果。

再比如，讲述特殊函数--勒让德函数的性质时，将一维各阶勒让德函数的图形展示出来，学生可以更直观、更快速地总结出函数的性质，再对数学公式观测和分析，与根据图像信息得到的结果相验证。图像是比数字符号更容易让大脑留下印象，因此这样的教学方法有助于学生对知识点的记忆。数学物理方法课程中还涉及很多复杂的函数图像，这样精细的图像必须借助类似的MATLAB相关软件作图，这是人工画图所不能替代的。精确的作图有助于学生准确理解相关的求解过程。

（4）有界弦振动问题的MATLAB仿真

弦振动问题是数学物理方法课程的重要内容，弦振动问题的研究对理解波的传播以及弹性体的振动具有重要意义。不同的弦振动问题在物理上也被学者们归纳为了不同种类的弦振动方程。其中，解决有界弦振动问题是学生深入理解弦类乐器发声原理的重要基础。MATLAB除了具有计算绘图功能，还可以发音。利用MATLAB的语音信号处理模块，可以对弦类乐器的发音进行仿真。在讲解有界弦振动方程的理论求解方法后，利用MATLAB，针对不同材质的弦和拨弦力度（对应方程的参数发生改变），仿真获得各类弦发出的声音，加强学生对方程解析解的理解。因此，利用MATLAB软件辅助教学，不仅在视觉上，还可以在听觉上吸引学生的注意力，加强课堂效果。利用MATLAB仿真模拟弦振动的声音这一过程也是人工不能实现的，足见MATLAB引入课堂教学的必要性。

 

三、使用MATLAB教学的体会

1．把MATLAB作为辅助教学手段引入到课堂教学中，有助于学生学习效率以及能力的提高。

数学物理方法的教学内容主要是数学公式、方程的推导、证明和求解，相对来说缺乏趣味性， 因此激发学生的学习热情是课堂教学的重要任务。 例如在讲解三类孤立奇点的时候，除了介绍函数在奇点位置的特性外，还用MATLAB将函数的图像画出来，放大孤立奇点附近的图像，学生的眼球一下子就被五颜六色的图像吸引了，有助于教学内容的推进。一旦激发了学生的学习热情，课堂教学内容对于学生不再是负担和压力，而是渴望获取的礼物来接受。另外，在布置课后习题的同时增加一些用MATLAB完成的计算作业，可以提高学生的文献调研和自学能力。将计算软件MATLAB应用于课堂教学，不仅可以提高学生对物理过程的理解，还可以锻炼学生的思维和提高编程技能，将物理问题数学化，将数学问题编程化，形象地认识和理解物理过程，通过将物理、数学、编程三者结合起来，学生不仅可以打好物理基础，还为将来的硕士和博士科学研究工作奠定编程基础，储备能力。通过课堂观察，当用MATLAB解决数学问题时，学生的抬头率提高了，课堂互动也增多了，甚至课后作业的正确率也提高了，这样的教学辅助手段对学生是大有裨益的。

2．MATLAB对于提高课堂教学效率具有显著的积极作用。

数学的语言是抽象的，如果能将抽象的语言转化为形象的图形，通过多媒体手段呈现出来，一方面有助于学生理解所要教授的知识，另一方面也将大大提高课堂效率，达到事半功倍的效果。例如，通过MATLAB画图，对比傅里叶级数和泰勒级数对函数逼近的差别，使学生认识两者的区别，带领学生走出知识点误区，这样的图像展示比理论讲解更直观、形象、有说服力。再比如，在求解无界弦的自由振动问题时，理论推导后得到达朗贝尔公式，再用MATLAB进行弦振动仿真，展现出振动以左右行波的形式向两端传播的过程，将大大加深学生对达朗贝尔公式的理解，行波解的物理意义同学们自然而然就领会了，不需教师再额外讲解，强化了课堂中学生的“主角”地位。采用MATLAB教学手段，各种数学问题不再是虚无飘渺的数字、方程，而是“沟壑纵横”的图像、“活灵活现”的动画，甚至可以是“抑扬顿挫”的声音信号，这些图片、动画和声音在学生脑中形成印象，遇到类似的问题，学生可以根据大脑中留存的图像和声音信息推断出解的形式和对应的物理过程，提高学生的空间想象力和解决问题的能力。同时，MATLAB的绘图和声音仿真过程是人工难以实现的，引入课堂教学是十分必要的。

3. MATLAB教学方法的使用对教师提出了更高的要求，促进教师教学能力的提高。

我国近代著名的教育家陶行知先生曾说：“要想学生好学，必须先生好学。惟有学而不厌的先生才能教出学而不厌的学生。”教师要先提高的自己的业务水平，才能更好地扮演知识的传播者和引导者这一身份。数学物理方法的课堂教学不再仅仅是理论推导，不再是冷冰冰的数学符号的堆砌，而是要将课本知识变“活”，变得有趣生动，这就要求教师要将理论知识以更吸引学生的方式展现出来。例如分离变量法在球坐标和柱坐标下的解，是学生理解后续课程“量子力学”和“电动力学”的前提，课堂上如果仅仅进行理论推导和讲解，那么是很难给学生留下深刻的印象，因此用图像将解的形式展示出来非常重要。用MATLAB绘制球坐标和柱坐标下解地图像比正交坐标系更复杂^[4]，这也就要求教师要花费额外的时间学习和精通计算软件，掌握用计算软件处理课程中各类问题的方法，并用适当的方式融入到课堂教学中，备课时间是传统教学方式的两倍甚至更多。此外，教师还应不断阅读相关期刊论文，经常参加教学研讨会的学术交流，持续学习和实践新的教学理念，以提高自己的教学技能。

4. 课堂教学中应分清主次，以数学物理方法的理论讲解为主，用MATLAB作为教学辅助手段。

虽然MATLAB引入课堂教学中好处诸多，但数学物理公式的推导和理论计算仍然是课程的主要内容，围绕教学重点和目标，注意合理安排MATLAB教学时长，把握教学尺度，不能把数学课变成计算机语言课，喧宾夺主^[5]。无论是课堂演示、课外作业，都应密切结合教材内容。课堂教学中要提醒学生注重理论计算过程，不能依赖计算软件的结果，需要知道MATLAB或者其它的计算软件只是验证理论的一种工具，掌握方法原理才是课程主旨。教师在教学的过程中，还可以展示演示教材中图形的绘制过程，将MATLAB求解和理论求解的过程进行对比等各类教学方式，来帮助学生理解教材内容，扫除障碍知识点。

5. MATLAB引入课堂教学中，也是存在诸多问题的。

部分学生缺少MATLAB基础，不理解数学语言与程序语言之间的转换，对于这部分学生需要额外关注，这将占用一定的课堂教学时长，影响教学进度；MATLAB也不是万能，例如MATLAB无法展现无穷大，需要额外向同学们解释。MATLAB的循环速度比较慢，不适合在课堂演示与级数相关的过程。在课堂中引入MATLAB，教师需要充分了解该计算软件的特点。

6. MATLAB计算软件可以促进教学改革和创新。

在这门理论课程的传统教学模式中，教师是知识的传授者，学生是知识的接收者，教学媒体是多媒体幻灯片，线下课堂是教学的主要环境，教学活动都是在教室中完成的，学生完成理论计算作业，教学形式和环节比较单一。将MATLAB引入教学中，在理论课程中适当增加一定课时的计算软件实验课，布置利用MATLAB完成的课后计算作业，建立课后作业的程序库，增加学生MATLAB编程的结果的展示环节，这些方式都极大地丰富了教学环节，都是有助于高等教学发展的。

此外，MATLAB计算软件也是课程思政的重要媒介。利用MATLAB将复杂的问题以图像、动画、声音的形式呈现出来，疏导学生的畏难情绪，可以达到课程思政的目的。

 

[参考文献]

[1] 孙咏萍，萨楚尔夫. “数学物理方法”精品课程建设的实践与探索[J]. 内蒙古师范大学学报（教育科学版），2013(03)：65-70.

[2] 周浩淼，邓娟湖，赵吉祥. "数学物理方法"教学中数学思维能力的独立培养模式探索[J]. 中国电力教育，2010(179)：89-90.

[3] 刘有菊，康洪庆. MATLAB的可视化在物理教学中的应用[J]. 保山学院学报，2018(02)：34-37.

[4] 冯立峰，吕菁华，祖大鹏. 球函数空间分布在MATLAB中的实现[J]. 长春师范学院学报（自然科学版），2007(1)：27-29.

[5] 谭少轩，李平舟. 数学物理方法中MATLAB的应用[J] . 大众科技，2011(6):136-138.

Application of MATLAB in the Teaching of Mathematical Physics Method Course

YAN Lin-li，ZHANG Xue-yong，GUO Yu-xian

（School of Mathematics and Physics, Anhui Jianzhu University, Hefei 230601）

Abstract: Mathematical physics method is an important basic compulsory course for undergraduates. Improving the classroom teaching effect and stimulating students' interest are important goals of the course reform. MATLAB has powerful calculation, drawing and simulation functions. This software is introduced into the classroom teaching of mathematical physics method course, and combined with teaching practice and experience of this author, the applicability, superiority and precautions of MATLAB in classroom teaching are explored. It has found that MATLAB can improve teaching efficiency and help to improve abilities of students, as well as the teaching level of teachers. It should be noted that MATLAB is only an auxiliary teaching method. In classroom teaching, teachers should not allow MATLAB to be dominated.

Key words: MATLAB；Mathematical Physics Method Course；Teaching