“实变函数”的混合式教学模式的探索与实践

李雪华，李冱岸   4版

(北方工业大学 理学院，北京100144，) 

[ 摘　要]：“实变函数”课程的内容重要而且复杂。教与学该门课程是困难的。在线上与线下相结合教学的背景下，“实变函数”教学团队在教学过程中进行了一些探索与实践，尝试实行传统讲授式和讨论式相融合的混合式教学模式，力图采用比较法与举例法去形象地讲解该门课程的抽象内容，具体地安排教学为三个阶段:课前预习、课堂教学、课后巩固。希望通过运用这些教学模式、教学方法与教学安排帮助学生更加积极主动地理解与掌握好该门课程的理论知识及其应用。

 [关键词]： 实变函数；混合式教学模式；教学改革

[基金项目]：2020年， 北方工业大学科研启动基金项目资助，项目名称：新引进教师科研启动费基金，项目编号：110051360002；：2020年，北方工业大学项目名称：科技创新服务能力建设-基本科研业务费，项目编号：110052971921/102。

[作者简介]：李雪华（1976-），女，广东省鹤山市，博士，北方工业大学理学院数学系，副教授（通讯作者），主要研究方向为函数逼近论；李冱岸（1973-），男，吉林省吉林市人，博士，北方工业大学理学院数学系，教授，主要研究方向为函数逼近论。

[中图分类号]：O174.1  [文献标识码]：B   

“实变函数”是本科阶段数学专业的相当重要的专业基础课之一。实变函数理论的产生源于克服牛顿和莱布尼茨所建立的微积分存在的一些缺点，突破黎曼积分的界限。实变函数的内容推广了积分的概念、弱化了积分与极限次序可交换的条件、拓广了微积分基本定理的应用范围、考虑Lebesgue可积函数空间的完备性等。实变函数理论已经渗透到很多数学分支，比如调和分析(三角级数)、概率论、泛函分析、随机过程、偏微分方程等，应用非常广泛。实变函数课程内容丰富、理论抽象、逻辑性强，是公认的一门学生难学、教师难教的课程。我们这个实变函数课程教学团队期望帮助学生将自主能动性调动起来，积极主动地学习课程内容、讨论与解决课程问题，能更好地理解与掌握该门课程的理论知识及其应用。因而我们在教学过程中进行了一些教学改革的研究与实践，尝试采取线上与线下相结合、实行传统讲授式和讨论式相融合的混合式教学模式。教学的具体安排主要分为三个阶段：课前预习、课堂教学、课后巩固。

1 课前预习

1.1 观看教学视频、预习教材内容

指导学生进行课前预习。上课前，学生充分利用网络资源自主观看《实变函数》课程的相关参考教学视频，预习教材内容。通过课前预习，学生对所学知识点有一个预先内化的过程，在课堂讲授与讨论中可以积极主动地理解所关注的知识点与问题，提高课堂的效率。

1.2 提交课前作业

布置课前作业：要求学生上课前将各自预习中觉得比较难理解的知识点（或问题）拍照，通过企业微信发给任课老师。比如，在预习第二章§2聚点,内点,界点^[1]（P37）时，学生通过企业微信发过来如下问题：

。

针对学生提出的疑问，在讲授该节内容时，我们先着重理解中的内点、外点、界点、聚点、孤立点等概念。具体讲授过程中，画出一些集合的维图形帮助学生更加直观地理解各个概念。然后，我们类似地理解推广到一般中的相关概念。在该节内容课堂讲授的整个过程中，学生们都聚精会神地一边画图一边听讲，很好地理解与分清了各个概念。

在教学的过程中，学生带着预习时发现的疑问与解决问题的好奇心走进课堂，逐步进入积极主动学习知识的良性循环，不知不觉地培养起自主学习的良好习惯，提高了自学的能力与学习的效率。

2 课堂教学（第1-3周线上教学：在企业微信课程群；第4-16周线下授课：在教室）

1.1 教授主要内容

在教学过程中，采取线上与线下相结合、实行传统讲授式和讨论式相融合的混合式教学方式。在具体上课讲授中，注重运用比较法与举例法去帮助学生形象地理解抽象的概念与理论知识。

1.1.1比较法

运用一：通过比较已知的数学分析知识点与实变函数相关知识点的区别与联系, 进一步理解实变函数的部分理论是微积分相关理论的推广。

例1. 数学分析中的海涅（Heine）-博雷尔（Borel）有限覆盖定理为

设I 是 Rⁿ 中的闭区间，μ是一族开区间，它覆盖了I ，则在μ中一定存在有限多个开区间，它们同样覆盖了I .

而实变函数论中的海涅（Heine）-博雷尔（Borel）有限覆盖定理 ^{[1]（P42）[2]（P37）[3](P33)}为

 设F 是一个有界闭集，μ是一族开集{U_i}_i∈Λ，它覆盖了F ，则在μ中一定存在有限多个开集，它们同样覆盖了F .

通过讨论比较上述两个定理的异同，学生真切地理解了实变函数论中的海涅（Heine）-博雷尔（Borel）有限覆盖定理是数学分析中的海涅（Heine）-博雷尔（Borel）有限覆盖定理的推广。

运用二：先形象地讨论比较好理解的中知识点，再帮助学生理解一般比较抽象的中相应知识点。

例2. 定理. 可测集上的连续函数是可测函数。^[1]（P79）

对比：先讨论区间情形：设f (x)是[ a, b ]上的连续函数，则f (x)是可测函数。

f (x)在[ a, b ]上连续，即 f (x)在( a, b )上连续，f (x)在a右连续，f (x)在b左连续; 

也即对对任意ε>0 , 存在δ>0，当时，有

对任意ε>0 , 存在δ>0，当时，有

对任意ε>0 , 存在δ>0，当时，有

也即 对任意ε>0 , 存在δ>0，当时，有

也即 对任意ε>0 , 存在δ>0，使得

对任意有限实数a , 对任意有对

使得从而令则

另一方面，从而而为一族开集的并集，是可测集。为区间，是可测集。故为可测集。因此f (x)是可测函数。

类似地，考虑一般可测集情形：设f (x)是可测集上的连续函数，则f (x)是可测函数。

证明：设f (x)是可测集上的连续函数，即对 对的任一领域存在的某领域使得

对任意有限实数a , 任意有则存在 存在x的领域使得令则

另一方面，从而而为一族开集的并集，是可测集。为区间，是可测集。故为可测集。因此f (x)是可测函数。

1.1.2举例法

例1. 理解可数集合的基数概念与性质等理论知识时，运用著名德国数学家Hilbert在一次演讲中讲述的关于旅馆的例子进行阐述。具体教学过程中，逐步引导学生思考如下问题：问题1. 有一家旅馆，内设有限个房间，所有的房间都客满了。若来了位新客人，还能安排该客人住宿吗？问题2. 有一家旅馆，内设可数多个房间，所有房间都客满了。若有一位新客人来临，想订个房间，还能安排该客人住宿吗？若能，如何安排？（讲授过程中提出一种具体的安排方法，引导学生思考更多的安排方法）问题3. 可数多个房间的旅馆各个房间都住满了。若来了可数位要求订房间的客人，还能安排该可数位客人住宿吗？若能，如何安排？问题4. 可数多个房间的旅馆各个房间都住满了。若来了可数多个旅行团（每个旅行团有可数多位旅客）要求定房间，还能安排这些客人住宿吗？若能，如何安排？

在讨论问题的过程中，学生理解了可数集合的基数概念以及有限（或可数）个可数集合的并集为可数集合等理论。同时，体会到在可以安排的情况中，安排方式的多样性，提高了对所讨论问题与该门课程的兴趣，同时训练了发散思维能力。

例2. 举例说明当时，叶果洛夫定理的结论不一定成立。首先，提出所讨论的函数列定

义于上的具体表达式：

然后，与学生一起讨论在上是否几乎处处收敛？若几乎处处收敛，找出收敛函数的表达式。最后，讨论在上是否“基本上”一致收敛于？通过具体例子的讨论，学生逐步体会到的确可能出现情况：当时，叶果洛夫定理的结论不成立。通过对具体例子的理解，学生在运用定理时，就会注意到定理的适用条件，逐步学会正确地运用定理结论去解决问题。

1.2  讨论学生问题

    针对学生在预习过程与听讲过程中提出的疑难问题，指导学生进行集体讨论与分析。学生在与同学的互助中、教师的具体指导与帮助下，将所学新知识逐渐添加到原有的知识体系中，一点一滴地积累与进步。

1.3  进行课堂练习

随堂随机进行课堂练习。第1-3周的课堂练习在当堂课限时做完、拍照，通过企业微信上传给任课老师；第4-16周的课堂练习在课堂上集体讨论。通过指导学生进行实在的动手练习，帮助学生复习与巩固当堂课的主要知识点，拓广相关的知识面，剔除一些理解上的误区。

3 课后巩固

1.1  复习课程内容

每章安排习题课，指导学生回顾主要内容、结合具体知识点解决一些问题。帮助学生整体性把握所学新知识，掌握运用所学知识解决问题的方法。

1.2 提交课后作业

给学生布置适量的课后作业，帮助学生巩固所学知识、进行自我评估、查漏补缺。

1.3  批阅、讲评作业、答疑

认真批阅学生作业。对于学生作业中出现的主要问题，在课堂上进行集中讲评。在企业微信上答疑，及时帮助学生解决疑难问题、逐步增强学生学习的自信心与获得感。

比如，在第五章的复习、作业习题讲评课上，我们先与学生们一起复习与理解第五章§4中定理5（勒贝格控制收敛定理）^{[1]（P114）}的内容：设为可测集，为上的一列可测函数，是上的非负可积函数，如果对于任意的自然数，于且于，则

然后，讲评第五章习题11^{[1]（P133）}证明：证明过程中先设接着与学生们一起理解如下结论：为上的一列可测函数，是上的非负可积函数，对于任意的自然数，于，且于，从而根据勒贝格控制收敛定理知

我们与学生们一起先理解了勒贝格控制收敛定理的适用条件与结论，再分析上述具体的题目。通过分析得知上述题目满足勒贝格控制收敛定理的适用条件，从而可以运用该定理的结论解决上述问题。在该题的详细讲解过程中，同时指出学生们在做作业过程中出现的各种问题，帮助学生们纠正解题中的误区，建立正确的解题思路。通过这样的体会过程，学生理解了只有在满足相应的使用条件的前提下，才可以运用相应的结论去解决具体问题，逐渐学会如何正确地运用所学的定理、概念等知识去分析与解决实际问题。

4  结论

“实变函数”的混合式教学模式的探索与实践是改进教学方式、教学行为的研究，同时带动教学理念、教学效率、教学质量的提升。混合式教学模式下的“实变函数”教学通过教师布置与指导课前预习、鼓励提问、引导课堂讨论与练习、批改作业与释疑解惑等环节激发学生积极主动地学习，帮助学生养成自主学习的习惯、培养提出问题与解决问题的能力，从而提高教与学的效率。

[参考文献]

[1]程其襄，张奠宙，魏国强，等.实变函数与泛函分析基础[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]周民强.实变函数论[M].北京：北京大学出版社，2019.

[3]И.П.那汤松.实变函数论[M].北京：高等教育出版社，2020.

 

 

Explorations and Practice of Mixed Teaching Model  

For “Real Variable Functions”

LI Xue-hua， LI Hu-an

  (College of Science, North China University of Technology, Beijing 100144, China)

Abstract： The content of the curriculum “Real Variable Functions”is important and complicated. It is difficulty to teach and learn it. Under the background of teaching with the combination of online and offline, our teaching team of “Real Variable Functions” has made some explorations and practice during the teaching process,  tried to put the mixed teaching model with the fusion of traditional teaching and discussion-style teaching into practice , made an effort to adopt comparative methods and example methods to figuratively interpret the abstract content of this curriculum, concretely arranged the teaching as three stages : previews, classroom teaching, after-school consolidation. Using the teaching model, teaching methods and teaching arrangement, we hope to help the students to be more proactive to understand and master the theoretical knowledge and its application of this curriculum well.

Key Words：real variable Functions; mixed teaching model; teaching reform