学分制改革下线性代数的教学改革探索

吴  奇，夏梓祥，杨如艳  

（云南农业大学 理学院，云南 昆明 650201）

[摘  要]：线性代数因知识点抽象难懂、挂科率较高，一直是本科公共课教育中的一个难点。同时，随着学分制改革的推进，不同院校对该门课程的总学时进行了不同程度的压缩。在这一新形势下，通过一学期两轮渐进式教学，设置问题引导学生自学慕课，在课堂教学中合理穿插趣味教学法，利用线上教学平台加强学习痕迹管理，多方面考核学生学习情况等一系列教学模式和方法的组合应用，保证了在总学时缩减的情况下，对大纲规定教学内容的讲授，并提升了教学效果。

[关键词]：线性代数；学分制；两轮渐进式教学；趣味教学

[作者简介]：吴奇（1983-），男，云南红河人，博士，云南农业大学理学院讲师，研究方向为应用数学；夏梓祥（1979-），女，云南大理人，博士，云南农业大学理学院副教授，研究方向为微观金融；杨如艳（1978-），女，云南保山人，硕士，云南农业大学理学院讲师，研究方向为高等代数。

[基金项目]：2017年云南农业大学教育教学改革研究项目“高等数学学困生的形成原因与转化策略研究”（2017YAUJY075）；2017年云南农业大学示范课程“高等数学”（2017YAUKC09D）；2021年云南农业大学课程思政示范项目“线性代数”（无编号）。

[中图分类号]：G642 [文献标识码]：A   

按照专业培养方案，线性代数为理工科和农林经济类部分专业的公共必修课，该门课程的教学质量，影响着学生后续专业课的学习^[1]，学业的顺利完成，乃至考研的成败。云南农业大学自2019级起，对本科生教育进行完全学分制和大类招生改革。在学分制改革之前，该课程为4学分64学时，改革之后调整为2学分，32课堂学时加10课外学时，总课时与国内大部分工科院校的学时相当^[2]。其中10个课外学时的教学开展形式由教学团队和任课教师讨论决定。为适应新形势下的公共课教学要求，在保质保量完成教学任务的基础上，尽可能地提升教学效果，防止学生出现对数学类课程的厌学现象，我们对学分制改革背景下线性代数的课程设计和教学方法进行了一些改革和尝试。

一、教学过程中存在的问题

数学类课程一直是本科教育中的一个痛点所在，相较于《高等数学》中极限、导数等知识已在中学阶段有所涉及，线性代数对绝大部分学生而言则是一门全新的数学课程，且其中的大部分概念和性质更加的晦涩和抽象^[3]，其教学过程中存在的一些问题和困难是教学工作者无法回避的。

（一）部分学生对数学类课程的恐惧心理影响学习效果

受数学类课程特点和知识结构体系的影响，数学基础不同的学生对数学类课程表现出了截然不同的学习态度和热情，再加上对不同教师授课方式和风格的接受度，对该门课程的主观偏见和恐惧心理一旦形成，会严重影响后续学习的兴趣和动力，使得部分学生逐渐产生厌学情绪，最终导致线性代数出现了较高的挂科率。若第一次学习期末挂科，则可能使得少数学生出现在大学毕业前，每年、每个学期、每天都在重修《线性代数》的恶性循环，对数学基础较薄弱同学的后续学习甚至毕业、升学和求职，造成了极为不利的影响。

（二）线性代数独特的知识体系结构加大学习难度

该门课程通过引入行列式、矩阵等概念及针对它们所特有的计算规则，形成了一门独具特色的学科。与高等数学中极限、导数、积分求解方法和技巧的千变万化不同，线性代数中行列式的计算、矩阵的运算、向量组的线性关系、线性方程组以及矩阵的特征值特征向量等问题的求解和讨论均有相对固定的解题方法和步骤，其难点不在于计算而更多的在于对概念和性质的理解和掌握。在实际教学过程中往往是还没有讲到相对简单且有固定套路的计算部分时，便已经“劝退”了部分学生，心理上的挫折感降低了此部分学生的学习热情，加大了课程的学习难度。

（三）学分制改革对线性代数教学带来的新挑战

从以上可以看出，线性代数的教学开展本身便面临着不小的挑战。然而学分制改革在减少课程总学时数的同时，却未对教学内容作大的删减，这便对任课教师如何安排教学计划、组织教学活动，以求在保质保量完成教学任务的基础上，尽可能调动学生的学习兴趣、提升教学效果，提出了更高的要求。

二、线性代数教学改革

针对线性代数教学中存在问题，更好的适应学分制改革对课程教学提出的新挑战,我们主要从以下几个方面对线性代数的教学设计和开展进行改革和尝试。

（一）教学模式。

针对学分制改革后线性代数32课堂学时加10课外学时的配比，综合采用传递-接受、自学-辅导、探索-发现和示范-模仿等教学模式，在一学期内完成所学内容的两轮教学，帮助学生更好地理解和掌握教学大纲所要求的知识点和解题技巧。

1.第一轮教学。此轮教学中的32课堂学时主要以传递-接受模式为主，讲授基本定义、定理和性质，配以典型例题。同时，针对一些较为抽象而难以理解掌握的知识点，穿插运用自学-辅导、探索-发现教学模式，激发学生的学习能力，化解教学难点。

2.第二轮教学。10课外学时则以示范-模仿模式为主，时间上安排在第一轮课堂教学完成之后，邻近期末考试之前。首先利用线上直播平台按章节或专题对重点题型和解题方法技巧进行复习强化，之后通过智慧树在线教育平台进行单元测试，并依据测试成绩分析教学效果再次进行针对性讲解，扫清学习障碍，达到强化训练和针对性复习的效果。

（二）教学方法与手段

1.利用慕课预习、组间讨论等教学手段化解学习难点。根据以往教学经验和与学生交流反馈可以发现，阶行列式的定义、矩阵的秩、向量组的线性相关性和矩阵的初等变换是线性代数教学过程中较难的知识点，其中以向量组的线性相关性为最。

针对阶行列式的定义，可以在课堂教学中组织学生开展分组讨论，从三阶行列式的展开式的特征和细节入手，总结其中的规律，并将之推广到n阶行列式的展开计算。这样的学习方式与教师直接给出结论相比，有利于鼓励学生探索-发现数学规律，更好的掌握和记忆知识点。

对于矩阵的秩、向量组的线性相关性和矩阵的初等变换，则通过设置问题，如矩阵的秩要求满足那些条件，线性组合、线性表示、线性相关和线性无关四个定义间的区别，初等矩阵和初等变换间的关系等，要求学生在课前提问的引导下完成相关慕课或热门网络教学视频的学习，并记录下自学过程中对课前提问的解答、新产生的疑点和难点，之后在课堂教学中进行求证和解决。在解决教学难点的同时，也引导学生形成课前预习，课后针对难点进行复习巩固的学习习惯。

从线性相关性的有关定理和性质来看，它们的理解和证明都是围绕线性组合、线性表示、线性相关和线性无关四个定义来展开的。而这四个定义之间即容易混淆又抽象晦涩,学生普遍反映此处是线性代数中最难理解和掌握的知识点之一。因此，在相应的课堂教学中，可对上述四个定义进行课堂默写和同桌相互检查，在理顺这四个抽象且容易混淆的定义同时，也为后续相关性质定理的讲解作铺垫。

2.穿插趣味教学法化解厌学情绪、活跃课堂气氛。线性代数中很多知识点是较为抽象的，例如上面提到的矩阵和向量组的秩、向量组的线性相关性等，如果在教学过程中一味地灌输式讲授，容易使得课堂氛围较为沉闷，从而增加学生的疲劳感，降低学习兴趣。因此，在课堂教学中，针对一些较难的知识点和题型，通过编写口诀、谐音字和数学小故事等趣味教学手段，以达到活跃课堂气氛、吸引学生的目的，避免因长时间的理论教学降低学生对数学类课程的学习兴趣^[4-6]。这里列举几个案例：

例1 阶行列式的定义。

通过组织学生课堂分组讨论总结三阶行列式的规律，并推广至阶行列式后

将阶行列式的展开计算总结为三个步骤，一句口诀：“行标准列排列，逆序数定正负”。即：首先行脚标为标准次序；其次列脚标遍历的所有全排列；最后计算列脚标的逆序数确定正负号。这样既可以帮助学生理解和计算相关习题，也有利于学生进一步理解和记忆对角和三角行列式的计算公式。

例2 矩阵乘法。

矩阵乘法是矩阵运算中一个重要知识点，也是区别于《高等数学》中的极限、导数和积分，而代表“线性代数”特色的一个计算法则。其定义中看似眼花缭乱的脚标，在掌握了计算规则后则会让学生产生“原来如此”的学习体验。为了帮助学生更好的掌握矩阵乘法，我们总结了一句简单的口诀：“前列=后行，前行×后列”。前者表示了矩阵乘法能够进行的前提条件为前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数，后者则表示矩阵乘法的计算方法为前一个矩阵的行与后一个矩阵的列的对应元素相乘再求和。同时，通过板书卡通笑脸图像和一个趣味小故事活跃课堂气氛：

上式中的就好似一个媒婆，把一对适婚男女（矩阵）、介绍到了一起，一旦瞅对眼（前列=后行），媒婆就功成身退了。

例3 方阵的特征值和特征向量。

在讲解特征值及其特征向量的定义时，围绕等式的特征，教师可以戏说一个小故事：发明特征值和特征向量的这位数学家其本意可能是想“偷懒”，他觉得直接计算矩阵乘法太麻烦，而如果能找到某些特殊的向量使得等于，则可以只计算向量的数乘从而简化计算。在利用演绎手法讲解使得该知识点接地气的同时，接下来指明寻找特征向量并非是为了“偷懒”，而是为了找出特殊的向量，满足与平行，进一步升华该定义的几何意义。通过前后具有戏剧性的冲突对比，既活跃课堂气氛的同时，又加深了学生对该定义的印象。

除了我们自己编写的以上案例以外，线性代数中这样的趣味教学法还有很多，例如南京工业大学汤家凤老师对向量组线性相关的戏说，山东财经大学宋浩老师用折线法分析线性方程组是否有解等。这些老师通过个人魅力和精彩讲授，不仅受到的本校同学的欢迎，也使得他们的课程视频在网络上有很高的点击率，成为了数学公共课的“网红”，值得我们广大数学教育者学习。

3.利用多种手段辅助学习痕迹管理。为督促学生积极参与日常教学，我们采用了多种网络教学手段进行平时学习痕迹的管理。例如，由于教学班选课人数多，教师教学任务重，无法保证每次作业都全部批改，因此由学生自行提交QQ群作业，并以学号末位数随机轮流批阅作业。这样既有了平时记录，又便于教师及时掌握学生的学习情况。在第二轮以章节或专题开展的教学中，则通过线上直播和随机网络答题等教学手段，在调动学生积极参与教学活动的同时，生成的回放视频也可供需要的同学进行多次观看强化复习,而网络教学平台的统计数据则十分便于对平时学习情况进行基本评判。

4.成绩评价。由于数学类课程的特殊性，期末考试仍然是目前能够较全面地反映学生对线性代数这门课程掌握程度的考核方式，但也要充分肯定学生在日常学习过程中的积极参与和付出。因此，我们通过多种网络学习平台，尽量全面的记录学生的平时学习痕迹，将过程性评价和终结性评价相结合，以期末笔试（60%）、单元测试（30%）、平时成绩和课外学时参与情况（10%）对学生进行综合评判。

三、改革成效

通过对笔者授课班级的总评成绩统计可以看出，自2019学年开始引入并完善慕课预习、趣味教学等教学手段后，挂科率从2018学年的18.4%降至5.5%（图1）。从2020学年第一届学分制改革后学生的学习情况来看，虽然挂科率有小幅的提升（8.8%），但整体情况仍优于2018学年。表明在2019学年对教学方法改进的基础上，通过在课堂和课外学时中分别完成两轮学习的模式，使得在总学时减少三分之一，而教学要求不缩水的情况下，学生的考试成绩没有出现大幅度的下滑，且其分布规律更加符合正态分布。

图1 改进教学方法和学分制改革前后学生总评成绩统计对比

四、结论

以云南农业大学为例，分析了线性代数教学过程中存的问题和面临的新挑战。在学分制改革缩减课时情况下，通过主动调整和改进线性代数课程教学模式和方法，保证了该门公共课的教学活动能够按照教学大纲的要求顺利开展，并在教学过程中总结了一些有益的经验和方法。在以往的学习中，学生对该课程的反馈普遍是概念定理抽象难懂，课程难度较大。通过自学-辅导、探索-发现教学模式的穿插使用，在解决教学难点的同时，培养了学生的自主学习能力；而趣味教学法的使用，增加了学生的学习乐趣，尽量保持了学生对课程学习的粘性；一学期内完成两轮学习，则让学生能够在一个学期内循环式的加深对重要知识点和解题技巧的理解和掌握。这一系列的方法和尝试，可以通过成立课程教学团队，针对学生特点开展集体备课，在形成一套完整教学体系的同时，发挥不同教师的特色和优势，以求能够激发学生的学习兴趣,提升线性代数的整体教学效果,从而获得更广大学生的认可，并更好的服务于学校的教育教学改革。

[参考文献]

[1] 黄玉梅. 非数学专业线性代数实践性教学研究[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2010, 35(6):201-205.

[2] 邓燕. 中美线性代数课程比较及对教学改革的启示[J]. 创新创业理论研究与实践, 2020,69(21):75-76+79.

[3] 俞晓岚,谢剑. 新媒体环境下线性代数教学改革的思考与探索[J]. 科技风,2021(12):47-48.

[4] 卢甜甜. "快乐数学"理念下数学课堂教学模式探究[J]. 南昌教育学院学报, 2018, 033(002):106-109.

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[6] 黄晓娟. 高等数学趣味教学法探讨[J]. 赤峰学院学报(自然版), 2017, 33(010):6-7.

Exploration of Teaching Reform of Linear Algebra under the Reform of Credit System

Wu Qi, Xia Zi-xiang, Yang Ru-yan

(College of Science, Yunnan Agricultural University, Kunming, Yunnan 650201,China)

Abstract: Linear algebra has always been a difficulty in public course education of undergraduate students because of its abstract knowledge and high failure rate. At the same time, with the advancement of credit system reform, different colleges and universities have compressed the total class hour of this course to varying degrees. Under this new situation, through two rounds of progressive teaching in one semester, setting up questions to guide students to study massive open online course, applying teaching modes and methods that interested students, strengthening the management of learning traces by using online teaching platform, and assessing students' learning situation in many ways, the teaching aims have been achieved and the teaching effect has been improved during a shorter teaching period.

Key words: Linear algebra; credit system; two-round progressive teaching; interesting teaching